2010-05-13-开枪存活概率问题

刚才看到一个朋友分享的日志,上面是75道逻辑题。其中第三道是这样的:


三个小伙子同时爱上了一 个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是30%,小黄比他好些,命中率是50%,最出色的枪手是小林,他从不失误,命中率是100%。由于这个显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:小李先开枪,小黄第二,小林最后。然后这样循环,直到他们只剩下一个 人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都应该采取什么样的策略?


上面给出的答案是这样的:


小黄。因为小李是第一个出手的,他要解决的第一个人就会是小林,这样就会保证自己的安全,因为如果小黄被解决,自己理所当然地会成为小林的目标,他也必定会被打死。而小黄如果第一枪不打小林而去打小李,自己肯定会死(他命中较高,会成为接下来的神枪手小林的目标)。他必定去尝试先打死小林。那么30% 50%的几率是80%(第一回合小林的死亡率,但会有一点点偏差,毕竟相加了)。那么第一回合小黄的死亡率是20%多一点点(小林的命中减去自己的死亡率)。假设小林第一回合死了,就轮到小李打小黄了,那么小李的命中就变成了50%多一点点(自己的命中加上小黄的死亡率)。这样就变成了小李小黄对决,第二回合的小李的第一枪命中是50%,小黄也是。可是如果拖下去的话占上风的自然就是小黄了,可能赢得也自然是小黄了。至于策略我看大家都领悟了吧。


我觉得这个分析是不对的,原因如下:

第一回合,小李开枪,必打小林,两种结果:
a, 30%机会打中,此时剩下小李和小黄,轮到小黄开枪,两种结果:
a1, 50%机会打中,此时只剩下小黄。
a2, 50%机会没打中,剩下小黄和小李。
b, 70%机会没打中,轮到小黄开枪,必打小林,两种结果:
b1, 50%机会打中,此时剩下小黄和小李。
b2, 50%机会没打中,轮到到小林开枪,必打小黄,剩下小李和小林。
这样第一回合下来,小李活的机率是70%+30%*50%=85%,小黄活的机率是30%+70%*50%=65%,小林活的机率是70%*50%=35%。

第二回合(a2+b1+b2,出现概率85%)二种情况:
c,剩下小李和小黄(a2+b1, 15%+35%=50%),小李先开枪,两种结果
c1, 30%机会打中,只剩下小李。
c2, 70%机会没打中,轮到小黄,两种结果:
c3, 50%机会打中,只剩下小黄。
c4, 50%机会没打中,剩下小李和小黄。
d,剩下小李和小林(b2, 70%*50%=35%),小李先开枪,两种结果
d1, 30%机会打中,只剩下小李。
d2, 70%机会没打中,小林开枪,只剩下小林。
所以第二回合下来,小李活的机率是50%*30%(c1)+50%*70%*50%(c4)+35%*30%(d1)=43%,小黄活的机率是30%*50%(a1)+50%*70%(c2)=50%,小林活的机率是35%*70%(d2)=24.5%。

第三回合(c4,出现概率50%*70%*50%=17.5%)只有一种情况:
e.剩下小李和小黄(c4, 50%*70%*50%=17.5%),小李先开枪,两种结果
e1, 30%机会打中,只剩下小李。
e2, 70%机会没打中,轮到小黄,两种结果:
e3, 50%机会打中,只剩下小黄。
e4, 50%机会没打中,剩下小李和小黄。

所以第三回合下来,小李活的机率是50%*30%(c1)+35%*30%(d1)+17.5%*30%(e1)+17.5%*70%*50%(e4)=36.875%,小黄活的机率是30%*50%(a1)+50%*70%*50%(c3)+17.5%*70%(e2)=44.75%

第四回合(e4,出现概率17.5%*70%*50%=6.125%)只有一种情况:
f.剩下小李和小黄(e4, 17.5%*70%*50%=6.125%),小李先开枪,两种结果
f1, 30%机会打中,只剩下小李。
f2, 70%机会没打中,轮到小黄,两种结果:
f3, 50%机会打中,只剩下小黄。
f4, 50%机会没打中,剩下小李和小黄。

所以第四回合下来,小李活的机率是50%*30%(c1)+35%*30%(d1)+17.5%*30%(e1)+6.125%*30%(f1)+6.125%*70%*50%(f4)=34.73125%,小黄活的机率是30%*50%(a1)+50%*70%*50%(c3)+17.5%*70%*50%(e3)+6.125%*70%(f2)=42.9125%

第五回合。。。

第六回合。。。

理论上,小李和小黄可以打无穷多个回合,最后小李和小黄活的机率各是一个收敛的等比数列:
小李活的概率是50%30%(c1)+35%*30%(d1)+50%(70%50)*30%(e1)+50%(70%50)^2*30%(f1)+50%(70%50%)^3*30%(g1)+…+50%(70%50%)^n*30%+50%(70%50%)^(n+1)= 33.5769%
小黄活的概率是30%*50%(a1)+50%
(70%50%)(c3)+50%(70%50%)^2(e3)+50%(70%50%)^3(f3)+…+50%(70%50%)^n+50%(70%*50%)^n*70%=41.923%

最后整个事件中三人活的机率分别是小李33.5769%,小黄41.923%,小林24.5%.

小林不可能出现在第三回合以后。。。这就是枪打出头鸟吧。。。


今天看到另外一种策略。

第一回合,小李开枪,对天开枪。然后小黄开枪,必打小林。
a, 50%, 小林死。b.50%,没打中,小林开枪,必打小黄,小黄死。
这样,第一回合小李活的概率是100%,小黄和小林各是50%。

第二回合,
a, (50%)剩下小李和小黄。小李开枪。
a1,(50%*70%), 没打中。小黄开枪。
c1, (50%*70%*50%),打中,结束. c2,(50%*70%*50%),没打中,继续。
a2, (50%*30%),打中,结束。
b, (50%)剩下小李和小林。小李开枪。
b1,(50%*70%), 没打中。小林开枪,结束
b2, (50%*30%),打中,结束。

第三回合(c2)
小李开枪。
d1,(c2*70%), 没打中。小黄开枪。
e1, (c2*70%*50%),打中,结束. e2,(c2*70%*50%),没打中,继续。
d2, (c2*30%), 打中。结束。

第四回合(e2)
小李开枪。
d1,(e2*70%), 没打中。小黄开枪。
f1, (e2*70%*50%),打中,结束. f2,(e2*70%*50%),没打中,继续。
g2, (e2*30%), 打中。结束。

….

所以最后三个存活机率分别是:

小李是a2(50%30%)+b2(50%*30%)+d2(50%*70%*50%*30%)+g2(50%(70%50%*30%)^2)+。。。=35.865%

小黄是c1(50%*70%*50%)+e1(50%*70%*50%*70%*50%)+f1(50%(70%*50%)^2)+…=26.923%

小林是b1: 50%*70%=35%

无疑,这个策略比前一个策略对小李有利。

龚文
麻烦死了。。多开几枪就都死了。