2010-05-13-开枪存活概率问题

刚才看到一个朋友分享的日志，上面是75道逻辑题。其中第三道是这样的：

三个小伙子同时爱上了一 个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是30％，小黄比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个 人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？

上面给出的答案是这样的：

小黄。因为小李是第一个出手的，他要解决的第一个人就会是小林，这样就会保证自己的安全，因为如果小黄被解决，自己理所当然地会成为小林的目标，他也必定会被打死。而小黄如果第一枪不打小林而去打小李，自己肯定会死（他命中较高，会成为接下来的神枪手小林的目标）。他必定去尝试先打死小林。那么30% 50%的几率是80%（第一回合小林的死亡率，但会有一点点偏差，毕竟相加了）。那么第一回合小黄的死亡率是20%多一点点（小林的命中减去自己的死亡率）。假设小林第一回合死了，就轮到小李打小黄了，那么小李的命中就变成了50%多一点点(自己的命中加上小黄的死亡率）。这样就变成了小李小黄对决，第二回合的小李的第一枪命中是50%，小黄也是。可是如果拖下去的话占上风的自然就是小黄了，可能赢得也自然是小黄了。至于策略我看大家都领悟了吧。

我觉得这个分析是不对的，原因如下：

第一回合，小李开枪，必打小林，两种结果：
a, 30%机会打中，此时剩下小李和小黄，轮到小黄开枪，两种结果：
a1, 50%机会打中，此时只剩下小黄。
a2, 50%机会没打中，剩下小黄和小李。
b, 70%机会没打中，轮到小黄开枪，必打小林，两种结果：
b1, 50%机会打中，此时剩下小黄和小李。
b2, 50%机会没打中，轮到到小林开枪，必打小黄，剩下小李和小林。
这样第一回合下来，小李活的机率是70%+30%*50%＝85%，小黄活的机率是30%+70%*50%＝65%，小林活的机率是70%*50%＝35%。

第二回合（a2+b1+b2,出现概率85%)二种情况：
c,剩下小李和小黄(a2+b1, 15%+35%=50%)，小李先开枪，两种结果
c1, 30%机会打中，只剩下小李。
c2, 70%机会没打中，轮到小黄，两种结果：
c3, 50%机会打中，只剩下小黄。
c4, 50%机会没打中，剩下小李和小黄。
d,剩下小李和小林(b2, 70%*50%=35%)，小李先开枪，两种结果
d1, 30%机会打中，只剩下小李。
d2, 70%机会没打中，小林开枪，只剩下小林。
所以第二回合下来，小李活的机率是50%*30%(c1)+50%*70%*50%(c4)+35%*30%(d1)＝43%，小黄活的机率是30%*50%(a1)+50%*70%(c2)＝50%，小林活的机率是35%*70%(d2)＝24.5%。

第三回合(c4,出现概率50%*70%*50%=17.5%)只有一种情况：
e.剩下小李和小黄（c4, 50%*70%*50%=17.5%),小李先开枪，两种结果
e1, 30%机会打中，只剩下小李。
e2, 70%机会没打中，轮到小黄，两种结果：
e3, 50%机会打中，只剩下小黄。
e4, 50%机会没打中，剩下小李和小黄。

所以第三回合下来，小李活的机率是50%*30%(c1)+35%*30%(d1)+17.5%*30%(e1)+17.5%*70%*50%(e4)=36.875%，小黄活的机率是30%*50%(a1)+50%*70%*50%(c3)+17.5%*70%(e2)=44.75%

第四回合(e4,出现概率17.5%*70%*50%=6.125%)只有一种情况：
f.剩下小李和小黄（e4, 17.5%*70%*50%=6.125%),小李先开枪，两种结果
f1, 30%机会打中，只剩下小李。
f2, 70%机会没打中，轮到小黄，两种结果：
f3, 50%机会打中，只剩下小黄。
f4, 50%机会没打中，剩下小李和小黄。

所以第四回合下来，小李活的机率是50%*30%(c1)+35%*30%(d1)+17.5%*30%(e1)+6.125%*30%(f1)+6.125%*70%*50%(f4)=34.73125%，小黄活的机率是30%*50%(a1)+50%*70%*50%(c3)+17.5%*70%*50%(e3)+6.125%*70%(f2)=42.9125%

第五回合。。。

第六回合。。。

理论上，小李和小黄可以打无穷多个回合，最后小李和小黄活的机率各是一个收敛的等比数列：
小李活的概率是50%30%(c1)+35%*30%(d1)+50%(70%50)*30%(e1)+50%(70%50)^2*30%(f1)+50%(70%50%)^3*30%(g1)+…+50%(70%50%)^n*30%+50%(70%50%)^(n+1)= 33.5769%
小黄活的概率是30%*50%(a1)+50%(70%50%)(c3)+50%(70%50%)^2(e3)+50%(70%50%)^3(f3)+…+50%(70%50%)^n+50%(70%*50%)^n*70%=41.923%

最后整个事件中三人活的机率分别是小李33.5769%,小黄41.923%,小林24.5%.

小林不可能出现在第三回合以后。。。这就是枪打出头鸟吧。。。

今天看到另外一种策略。

第一回合，小李开枪，对天开枪。然后小黄开枪，必打小林。
a, 50%, 小林死。b.50%,没打中，小林开枪，必打小黄，小黄死。
这样，第一回合小李活的概率是100%，小黄和小林各是50%。

第二回合，
a, （50%）剩下小李和小黄。小李开枪。
a1，(50%*70%), 没打中。小黄开枪。
c1, (50%*70%*50%)，打中，结束. c2,(50%*70%*50%)，没打中，继续。
a2, (50%*30%),打中，结束。
b, （50%）剩下小李和小林。小李开枪。
b1，(50%*70%), 没打中。小林开枪，结束
b2, (50%*30%),打中，结束。

第三回合（c2)
小李开枪。
d1，(c2*70%), 没打中。小黄开枪。
e1, (c2*70%*50%)，打中，结束. e2,(c2*70%*50%)，没打中，继续。
d2, (c2*30%), 打中。结束。

第四回合（e2)
小李开枪。
d1，(e2*70%), 没打中。小黄开枪。
f1, (e2*70%*50%)，打中，结束. f2,(e2*70%*50%)，没打中，继续。
g2, (e2*30%), 打中。结束。

….

所以最后三个存活机率分别是：

小李是a2(50%30%)+b2(50%*30%)+d2(50%*70%*50%*30%)+g2(50%(70%50%*30%)^2)+。。。=35.865%

小黄是c1(50%*70%*50%)+e1(50%*70%*50%*70%*50%)+f1(50%(70%*50%)^2)+…=26.923%

小林是b1: 50%*70%=35%

无疑，这个策略比前一个策略对小李有利。

龚文
麻烦死了。。多开几枪就都死了。